The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
app(add(n, x), y) →⁺ add(n, app(x, y))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [x / add(n, x)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(n, x)) → add(n, shuffle(reverse(x)))

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
add/0

(6) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
app, reverse, shuffle

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < reverse
reverse < shuffle

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
app, reverse, shuffle

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < reverse
reverse < shuffle

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Induction Base:
app(gen_nil:add2_0(0), gen_nil:add2_0(b)) →_R^Ω(1)
gen_nil:add2_0(b)

Induction Step:
app(gen_nil:add2_0(+(n4_0, 1)), gen_nil:add2_0(b)) →_R^Ω(1)
add(app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b))) →_IH
add(gen_nil:add2_0(+(b, c5_0)))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(12) Complex Obligation (BEST)

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
reverse, shuffle

They will be analysed ascendingly in the following order:
reverse < shuffle

(14) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
reverse(gen_nil:add2_0(n439_0)) → gen_nil:add2_0(n439_0), rt ∈ Ω(1 + n439₀ + n439₀²)

Induction Base:
reverse(gen_nil:add2_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
reverse(gen_nil:add2_0(+(n439_0, 1))) →_R^Ω(1)
app(reverse(gen_nil:add2_0(n439_0)), add(nil)) →_IH
app(gen_nil:add2_0(c440_0), add(nil)) →_L^{Ω(1 + n439₀)}
gen_nil:add2_0(+(n439_0, +(0, 1)))

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(15) Complex Obligation (BEST)

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
reverse(gen_nil:add2_0(n439_0)) → gen_nil:add2_0(n439_0), rt ∈ Ω(1 + n439₀ + n439₀²)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
shuffle

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
shuffle(gen_nil:add2_0(n637_0)) → gen_nil:add2_0(n637_0), rt ∈ Ω(1 + n637₀ + n637₀² + n637₀³)

Induction Base:
shuffle(gen_nil:add2_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
shuffle(gen_nil:add2_0(+(n637_0, 1))) →_R^Ω(1)
add(shuffle(reverse(gen_nil:add2_0(n637_0)))) →_L^{Ω(1 + n637₀ + n637₀2)}
add(shuffle(gen_nil:add2_0(n637_0))) →_IH
add(gen_nil:add2_0(c638_0))

We have rt ∈ Ω(n³) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n³).

(18) Complex Obligation (BEST)

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
reverse(gen_nil:add2_0(n439_0)) → gen_nil:add2_0(n439_0), rt ∈ Ω(1 + n439₀ + n439₀²)
shuffle(gen_nil:add2_0(n637_0)) → gen_nil:add2_0(n637_0), rt ∈ Ω(1 + n637₀ + n637₀² + n637₀³)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(20) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n³) was proven with the following lemma:
shuffle(gen_nil:add2_0(n637_0)) → gen_nil:add2_0(n637_0), rt ∈ Ω(1 + n637₀ + n637₀² + n637₀³)

(21) BOUNDS(n^3, INF)

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
reverse(gen_nil:add2_0(n439_0)) → gen_nil:add2_0(n439_0), rt ∈ Ω(1 + n439₀ + n439₀²)
shuffle(gen_nil:add2_0(n637_0)) → gen_nil:add2_0(n637_0), rt ∈ Ω(1 + n637₀ + n637₀² + n637₀³)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(23) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n³) was proven with the following lemma:
shuffle(gen_nil:add2_0(n637_0)) → gen_nil:add2_0(n637_0), rt ∈ Ω(1 + n637₀ + n637₀² + n637₀³)

(24) BOUNDS(n^3, INF)

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
reverse(gen_nil:add2_0(n439_0)) → gen_nil:add2_0(n439_0), rt ∈ Ω(1 + n439₀ + n439₀²)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(26) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
reverse(gen_nil:add2_0(n439_0)) → gen_nil:add2_0(n439_0), rt ∈ Ω(1 + n439₀ + n439₀²)

(27) BOUNDS(n^2, INF)

(28) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, y) → y
app(add(x), y) → add(app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(x)) → app(reverse(x), add(nil))
shuffle(nil) → nil
shuffle(add(x)) → add(shuffle(reverse(x)))

Types:
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
hole_nil:add1_0 :: nil:add
gen_nil:add2_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_nil:add2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add2_0(+(x, 1)) ⇔ add(gen_nil:add2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(29) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
app(gen_nil:add2_0(n4_0), gen_nil:add2_0(b)) → gen_nil:add2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(30) BOUNDS(n^1, INF)